Журнал рабочих черновиков: Март 2009

09.02.2009 еще чутьчуть лучше
07.02.2009 небольшой рерайт

Старая как мир задачка вновь проявилась на просторах интернета. Так как первая встреча с ней была за долгое время до настоящего момента, то ее решение не удержалась в моей не окрепшей памяти. И я встретил ее как нового гостя со старыми добрыми чувствами.

http://www.boingboing.net/images/geomenrbbraiint.jpg

Однако, первые попытки разогнать былые воспоминания и привести в действие решение покоящееся где-то далеко в прошлом оказались безуспешными. Я потратил добрую половину дня на прокручивание этой картинки и разбора аномалии.

Проверяя различные комбинации и отсеивая, как паранойю, интуитивные рефлексы, что это оптический обман, я неустанно переставлял части и проникался в суть евклидовой геометрии.

Уверен, что решений данной задачи может быть множество, и выученные на отлично школьные умы без труда осилят ее используя лишь простые правила, только что изученной науки геометрии. Однако, мои школьные годы заполнили другими событиями и мне пришлось приложить другой подход - логический. В моем случае через поиск площади фигуры.

Долгие перекручивание картинки, игра с ножницами и вырезанием фигурок из бумаги меня утомили и я решил подойти к решению задачи с другой стороны. Более основательно: необходимо поставить четкие условия и определиться моделью решения, по которой я делаю этот анализ задачи. Такой подход позволит точно определиться с условиями и правилами применяемыми мной в данном решении и быстро выведет на чистую воду все мои неверные предположения.

Самый сложный вопрос, который я себе задал, он же является определяющим в начале любой задачи, было определиться с точкой отправления. Приложив некоторые усилия я попытался выразить условия задачи в простой, тривиальной формулировке: "Что вообще мне не нравиться в этой картинке?". Отвечая на этот вопрос можно открыть много неожиданного. В моем случае это позволило начать искать решение через определение площади фигуры. До этого момента поиски сводились к перебору уже проверенных комбинаций и невольно мне казалось, что может быть все так и должно быть, и решать данную задачу вообще нету смыла - мол, так и должно быть.

Не трудно догадаться, что отвечая на только что поставленный вопрос мы определяем ход решения. Ответ для меня звучит так: "Вон та дырка, лишняя и она образует дополнительное место, которое увеличивает площадь первой фигуры на 1 клетку". Следовательно, сомнительным является то, что на картинке наблюдается странное поведение общей площади фигуры, которая пляшет от треугольника к треугольнику.

Поверхностная оценка показывает, что площадь верхнего, нормального, треугольника, на следующей картинке, после перекладывания его составных частей становиться на 1 клетку больше, что и взывает сильное внутреннее возмущение.

Последнее общение с треугольниками у меня было год назад, когда я выезжал со двора на своей машине на главную дорогу, и в этом случае восприятие этой фигуры было абсолютно однозначное. С какой стороны к нему не подъезжай, всегда приходится уступить дорогу. Но даже беглый взгляд на поставленную авторами задачу, просто ошарашивает. И треугольник оказывается роковой!

Известно из школьного курсы алгебры, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. И это тоже самое относится к площади фигур, как не разрезай материал вдоль и поперек его больше никогда не станет.

Это утверждение в свете данной задачи заставляет усомниться в школьном курсе. Я сразу вспомнил довольных продавщиц текстильного магазина продающих тряпки, с их довольными лицами, когда они тебе отрезают материю не прямо, а по диагонали. После того как вы наглядно видите, что площадь одного и того же треугольника разрезанного по разному имеет разную площадь, начинаешь задумываться, что эти продавщицы уже прочитали эту задачу и успели решили ее! Только их теперь они используют это решение в своих, сугубо корыстных, целях и обрезают так материю с умыслом, чтобы вам меньше досталось. Наживаются на треугольниках! А я, столько времени работая с интернетом, до сих пор не знаю, как из одного куска материи делать на 1 клетку больше только по другому разрезая его, и поэтому каждый раз теряю деньги при посещении магазина с тряпками. Какая не справедливость!

В добавок к этому, мне показалось, что именно в этой в этой задачи нарушаются не только принципы геометрии, но еще и правила построения вселенной! И мы силой ошибки в геометрии образуем подобие черной дыры в пространстве и расщепляем ее натуру! О, только вспомните раздел физики изучающий структуру атома и найдите раздел, где говориться, что при разделении ядра на его составляющие их суммарная масса будет больше массы самого атома! Вот оно! Выходит что в этой задаче найден ответ беспокоивший великие умы всего человечества и найден ключ к вся энергии Вселенной. И теперь мы отвечаем на эту загадку самостоятельно разрабатывая, атомный реактор изображенный на листе бумаги в этой задаче! Меня аж дрожь пронимает, как бы пространство не свернулось прямо у меня на рабочем столе, из за рисунка по которому я только что, собственноручно, вырезал эту субстанцию темной материи...

Стоп, тфу, черт! Какая энергия атомов, вопрос в ведь был в площади. Нужно просто просчитать площадь.

Обратившись к картинке мы без труда находим полную площадь первой фигуры из сумм ее составляющих. Так, для желтой фигуры она составляет 7 клеток, их можно пересчитать по пальцам просто пробегаясь по квадратикам и считая их по одному. Салатовая фигурка занимает 8 клеток. А треугольники... треугольники, уступить дорогу, как это там считалось... А! треугольник это половина прямоугольника! То есть a*b и поделить пополам. Следовательно площадь красного: 8*3/2 = 12. Зеленого: 5*2/2=5.

Исходя из приведенных данных получилось площадь верхней фигуры 7 + 8 + 12 + 5 = 32! А нижней, состоящий из тех же частей, что и верхний с учетом одной дырки-клетки 32+1 = 33! Выходит новая фигура на 1 клетку больше, при тех же входных данных и составных частей! Вот чудеса, здесь какая-то не точность закралась и ошибка. Но она еще не на поверхности.

Для начала можно усомниться во всем: в том что мы забыли как считается площадь треугольника, что это само собой разумеющееся и такие прыжки площади и должны быть. Создается впечатление, что все дело в хитрых не полных клеточках, которые срезаны гипотенузами двух треугольников перебегают с одной картинку на другую. Что бы не теряться в догадках давайте использовать только неоспоримые факты, которые напрочно уселись в нашей памяти после школьного курса. Для нашей задачи мы точно можем быть уверены только в площади всей фигуры, которую образуют эти два треугольника, я говорю о прямоугольнике. Ведь треугольник образуется из прямоугольника делением его на две части по диагонали.

Наш треугольник это часть большой фигуры со сторонами 13 и 5 клеток. Следовательно площадь этой большой фигуры равна 13 * 5 = 65, а треугольник, это его половина. Следовательно, площадь исследуемой нами фигуры, треугольника с верхней картинки 65 / 2 = 32.5.

Вот чудеса, при проведении абсолютно достоверных расчетов, в которых мы точно не могли ошибиться, ведь мы точно знаем, как найти площадь прямоугольника - умножением одной стороны на другую, наши расчеты расходятся. Эти расчеты показывают очень интересную зацепку. Площадь реальной фигуры на верхней картинке на пол клетки 32.5 - 32 = 0.5 больше первого треугольника, который мы считали за оригинал, и на пол клетки меньше второго. Что вскрывает куда более страшные предположения относительно того, что первая фигура является точкой отсчета и верной. Данные предположения не верны!

Это дает нам право усомниться в правильности расчета площади треугольника расположенного на первой картинке. Несмотря на то, что он красивый и выглядит хорошо, радуя наш глаз он содержит ошибку выявленную простым расчетом должной площади и площади его составных частей. Тут где-то засела серьезная ошибка и она находится не только во-втором треугольнике с дыркой, на которую нас отвлекает картинка, но и в первом!

Самое интересное наблюдение которое мы можем сделать это то, что и первый и второй треугольник содержат ошибку соразмерную 0.5 клетки. В первом случае, мы эту ошибку не замечаем, так как она всего 0.5 клетки. А во втором треугольники, ошибка уже заметна, так как общая погрешность на обоих фигурах (0.5+0.5) составляет уже целую клетку, что отчетливо видно на рисунке.

Из этих предположений мы должны второй раз проверить, то как мы считали площадь фигур. Проверить все самые мельчайшие подробности, которыми мы возможно пренебрегали и заложили ошибки при расчетах. Проверить площадь фигур не сложно, то в чем мы уверены это в полных угловатых фигурках: желтой и салатовой, их площадь не меняется так как ее можно определить с помощью пальцев обоих рук. 7 и 8. Их площади мы отбрасываем и больше не возвращаемся, так как это сужая область исследования делает нашу работу проще. Вторые две фигуры, треугольник красный и зеленый должны содержать ответ на вопрос куда спрятались 0.5 площади. Однако подождите, давайте проверим наши знания.

Открыв учебник по геометрии мы еще раз убеждаемся в формуле поиска площади треугольников a*b/2. И проведя небольшой анализ, нет ли оптической иллюзии того, что длины сторон треугольников действительно равны 8х3 для первого и 5х2 для второго. Это можно сделать внимательным анализом картинки. Проверив что пересечения нижних определяющих фигурок желтой и салатовой на которых стоят два маленьких треугольника определены нам длинами катетами треугольников. Другими словами, мы уверены что маленькие два треугольника в нашей именно фигуры со сторонами 5х2 и 8х3 клеток. В очередной раз получаем указанные площади 12 и 7 квадратных единиц для обоих фигур. Решение загадки, где-то рядом и заложено в ошибки получения площади составных частей нарисованного треугольника. Ошибки не может быть в площади простых угловатых фигурах и следовательно содержится в треугольниках. Не смотря на все проведенные расчеты мы получаем площадь треугольника на первой картинке равна 32 против площади 32.5 реальной фигуры.

Решение любой задачи сводится к повторному анализу условий, делается это для того, чтобы найти ошибку в наших рассуждениях и отказаться от ранее ошибочно принятых ориентиров. Так в нашем случае мы возвращаемся к тому, как мы находили площадь полного треугольника, а не его составных частей. Она получается путем поиска площади прямоугольника площадью 13х5=65 и ее деления на два. В геометрическом смысле деление прямоугольника на две части есть проведение диагонали между противоположными, максимально удаленными его вершинами. Одной линией... Ровной.... Расположенной под одним углом...

Ведь если линия разделяющая прямоугольник на две части прямая, одна должны быть образующей линией для обоих составных частей - маленьких треугольников, красного и зеленого угол, которых должен совпадать с углом диагонали прямоугольника. Что и требуется проверить, если мы докажем что углы малых треугольников различаются это будет доказательством того, что они не образуют большого треугольника на верхней картинке.

Для тех читателей, которые ходят вспомнить как находится тангенс угла наклона, и сам угол в градусах, я предлагаю открыть учебник по геометрии и приятно потратить время на освежение памяти. Для остальных читателей я финализирую выше приведенный анализ.

Итого, найдя значения углов обоих треугольников, и определив, что они действительно различные я делаю вывод, что фигура на первой картинке не является треугольником. Следовательно, решение найдено. Ответ звучит так: прежде всего это частично оптический обман. При беглом взгляде на обе фигуры изображенные на рисунке, верхняя и нижняя, может показаться, что они являются треугольниками, хотя на самом деле они многоугольники. Из этого следует, что подсчет площади стандартным образом a*b/2 для них не представляется возможным. Более точным ответом на задачу будет поиск тангенсаугла наклона каждого их них в отдельности. В нашем случае отношение катетов которых, красного и зеленого не равны, 8/3 != 5/2.

Для более наглядной картинки представте себе вогнутый по гипотенузе треугольник. Теперь отражая зеркально этот треугольник по его гипотинузе мы получим прямоугольник, с небольшой щелкой. Щелка образуется из за того, что гипотинуза выгнута. Она находится на протяжении всей диагонали прямоугольника и общая ее площадь равна 0.5 клетки. Такую крошечную величину трудно заметить на глаз, и не имея наглядной схемы крайне сложно, что и подвело нас в нашей задаче.

Я хочу поделиться еще одним интересным наблюдением. Обе фигуры нарисвованные на первой и второй картинках могут быть объединены в одну целую фигуры - прямоугольник. Эта интересная особенность появлетяся из входных условий задачи, веренее из способа образования двух фигур изображенных на картинках. Как мы уже выяснили, они образуются через проведение через прямоугольник ломаной линии. Эта линия проходит не как ровная диагональ проходящая под одним углом, а через клеточки на разлинованной поверхности. Благодоря это и достигается наша оптическая иллюзия, так как мнимая диогональ проходит через точку на пересечении клеток x:8 y:3. Из выше сказанного следует, что наш НЕ треугольник с площадью 32 изображенный на картинке вверху, и его отраженную версию с площадью 33 мы можем сложить вместе. Складывая вогнутый на выгнутый НЕ треугольники, мы получаем полноценый прямоугольник, без щелей, и пустого пространства между ними. Новый совершенно правильный прямокгольник со сторонами 13х5 будет иметь площадь 13 * 5 = 65, которую мы нашли вовремя нашего анализа.

Журнал рабочих черновиков

суббота, 14 марта 2009 г.

xorg-x11-drv-ati-6.12.0 fedora 10 build

среда, 11 марта 2009 г.

Хотите купить DRM-защищенную песню?

вторник, 10 марта 2009 г.

"free as in free speech, not as in free beer"

суббота, 7 марта 2009 г.

Привет Евклид!

Карта сайта

Программирование

Bugs/Improvements

Настройка

Коммерция

Другое

Архив блога

Ярлыки

Обо мне

Attribution-Share Alike 3.0